Calcule os seguintes limites:
lim x -2 raiz[3]x-6+2x^3+8

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite abaixo:
limx -2 raiz[3]x - 6 + 2x^3 + 8
Esse exercício envolve cálculo de limites, especificamente lidando com expressões que podem resultar em uma forma indeterminada. Vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital e conhecimentos sobre derivadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz[3]-2 - 6 + 2(-2)^3 + 8 = raiz[3]-8 + 2-8 + 8 = -2 + 20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que nos indica que precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma Numerador: ddx ( raiz[3]x - 6 + 2 ) = ddx ( (x - 6)^1/3 ) = 13(x - 6)^-2/3 ou Denominador: ddx (x^3 + 8) = 3x^2 , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso aqui.
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite original:
limx -2 13(x - 6)^-2/33x^2 = 19 limx -2 1(x - 6)^2/3 cdot x^2

Passo 5

Vamos calcular agora o limite restante substituindo (x - 6) = -2 - 6 = -8 :
(x - 6)^2/3 = ( (-8)^1/3 )^2 = (-2)^2 = 4
x^2 = (-2)^2 = 4
19 cdot 14 cdot 4 = 19 cdot 116 = 1144
Então:

Resposta

O limite é .

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