Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Aqui, estamos lidando com limites em funções trigonométricas e racionais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer propriedades de limites, a função tangente e como lidar com expressões que dão formas indeterminadas, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
Sabemos que
(porque a tangente de múltiplos inteiros de
é zero). Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, assim quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. Reescrevendo
:
Substituindo na expressão original:
Passo 4
Sabemos que a fun��ão tangente tem período
, então:
Agora, a expressão fica:
Passo 5
Para
próximo de
, podemos usar a aproximação
quando
é pequeno. Então:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Portanto, o limite quando
se aproxima de
é simplesmente
.