Calcule os seguintes limites:
lim x -2 tan pi xx+2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de da função . Aqui, estamos lidando com limites em funções trigonométricas e racionais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer propriedades de limites, a função tangente e como lidar com expressões que dão formas indeterminadas, como .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir tan(pi times (-2))-2 + 2 = tan(-2pi)0 na expressão para ver o que acontece:
Sabemos que (porque a tangente de múltiplos inteiros de é zero). Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja x = -2 + h , assim quando tan(pi (-2 + h))(-2 + h) + 2 = tan(-2pi + pi h)h se aproxima de , se aproxima de . Reescrevendo :
Substituindo na expressão original:

Passo 4

Sabemos que a fun��ão tangente tem período tan(-2pi + pi h) = tan(pi h) , então:
tan(pi h)h
Agora, a expressão fica:

Passo 5

Para tan(pi h) approx pi h próximo de pi hh = pi , podemos usar a aproximação quando é pequeno. Então:
Substituindo na expressão:

Passo 6

Portanto, o limite quando se aproxima de é simplesmente .

Resposta

pi

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