Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
e
. O conteúdo da matéria envolve limites de funções exponenciais e o uso da definição do número
. Precisaremos lembrar que
.
Passo 2
Primeiro, consideramos o limite quando
tende a
. Observamos que
se aproxima de
conforme
cresce. Assim, a expressão dentro do parênteses se aproxima de
, e a potência
cresce.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo:
Note que quando
,
.
Passo 4
Sabemos que:
Portanto, a expressão inteira tende a:
Passo 5
Agora, consideramos o limite quando
tende a
. Vamos fazer uma substituição: seja
, onde
quando
.
Passo 6
A expressão fica:
Para grandes valores de
,
, então podemos aproximar:
Passo 7
Conhecemos o limite:
Portanto, o limite original também tende a
.
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Prove que as seguintes sequências são de Cauchy.
.
Prove que toda sequência de números reais decrescente e limitada inferiormente é convergente e converge para o ínfimo do conjunto de seus termos.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.