Calcule os seguintes limites: lim x pm infty(1+1x+8)^x

Passo 1

Vamos calcular o limite de (1+1x+8)^x quando x tende a +infty e -infty. O conteúdo da matéria envolve limites de funções exponenciais e o uso da definição do número e. Precisaremos lembrar que limn to infty(1+1n)^n = e.

Passo 2

Primeiro, consideramos o limite quando x tende a +infty. Observamos que 1x+8 se aproxima de 0 conforme x cresce. Assim, a expressão dentro do parênteses se aproxima de 1, e a potência x cresce.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo:
(1+1x+8)^x = ((1+1x+8)^x+8)^xx+8
Note que quando x to +infty, xx+8 to 1.

Passo 4

Sabemos que:
limx to +infty (1+1x+8)^x+8 = e
Portanto, a expressão inteira tende a:
e^1 = e

Passo 5

Agora, consideramos o limite quando x tende a -infty. Vamos fazer uma substituição: seja y = -x, onde y to +infty quando x to -infty.

Passo 6

A expressão fica:
(1+1-y+8)^-y = (1 - 1y-8)^-y
Para grandes valores de y, y-8 approx y, então podemos aproximar:
(1 - 1y)^-y

Passo 7

Conhecemos o limite:
limy to +infty (1 - 1y)^-y = e
Portanto, o limite original também tende a e.

Resposta

O limite lim x pm infty(1+1x+8)^x é igual a e.

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