Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos provar que a equação tem exatamente uma única raiz real. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função , que nos ajudará a entender como a função está se comportando (se está crescendo ou decrescendo). A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a derivada . Queremos saber se ela é sempre positiva ou negativa, ou se muda de sinal. Se a derivada for sempre positiva, isso significa que a função está sempre aumentando, e portanto terá no máximo uma raiz.

Passo 4

Para verificar se é sempre positiva, vamos estudar a expressão . Sabemos que cresce exponencialmente, enquanto é uma função linear que cresce ou decresce dependendo de . Vamos verificar se nunca é zero.

Passo 5

Observamos que para todo , é sempre positivo. Além disso, mesmo que possa ser negativo para valores maiores de , o termo cresce de forma que sempre compensará esse negativo. Portanto, para todo , indicando que a função está sempre aumentando.

Passo 6

Como é uma função contínua e sempre crescente, ela pode cruzar o eixo no máximo uma vez. Além disso, observando os limites quando e :
Pelo Teorema do Valor Intermediário, já que a função passa de a e é contínua, ela deve cruzar o eixo exatamente uma vez.

Resposta

Portanto, a equação possui uma única raiz real.

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Calcule os seguintes limites:
Prove que as seguintes sequências são de Cauchy.
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Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .