Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos provar que a equação
tem exatamente uma única raiz real. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da função
, que nos ajudará a entender como a função está se comportando (se está crescendo ou decrescendo). A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a derivada
. Queremos saber se ela é sempre positiva ou negativa, ou se muda de sinal. Se a derivada for sempre positiva, isso significa que a função
está sempre aumentando, e portanto terá no máximo uma raiz.
Passo 4
Para verificar se
é sempre positiva, vamos estudar a expressão
. Sabemos que
cresce exponencialmente, enquanto
é uma função linear que cresce ou decresce dependendo de
. Vamos verificar se
nunca é zero.
Passo 5
Observamos que para todo
,
é sempre positivo. Além disso, mesmo que
possa ser negativo para valores maiores de
, o termo
cresce de forma que sempre compensará esse negativo. Portanto,
para todo
, indicando que a função
está sempre aumentando.
Passo 6
Como
é uma função contínua e sempre crescente, ela pode cruzar o eixo
no máximo uma vez. Além disso, observando os limites quando
e
:
Pelo Teorema do Valor Intermediário, já que a função passa de
a
e é contínua, ela deve cruzar o eixo
exatamente uma vez.
Resposta
Portanto, a equação
possui uma única raiz real.
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Calcule os seguintes limites:
Prove que as seguintes sequências são de Cauchy.
.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .