Prove que as seguintes sequências são de Cauchy. .
Passo 1
Vamos lá! Temos que provar que a sequência é uma sequência de Cauchy. Para isso, vamos usar conceitos de análise real, especificamente sobre sequências de Cauchy e suas propriedades. Precisamos entender o que é uma sequência de Cauchy e como aplicar essa definição para mostrar que satisfaz os critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser de Cauchy. Uma sequência é de Cauchy se, para todo número positivo , existe um número natural tal que, para todos os índices e maiores que , a distância entre e é menor que . Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar a diferença para a nossa sequência:
Para simplificar essa expressão, podemos buscar uma forma de torná-la menor que conforme e crescem.
Passo 4
Observamos que conforme tende ao infinito, tende a 1:
Isso significa que a sequência converge para 1.
Passo 5
Sabendo que converge para 1, podemos concluir que a sequência é de Cauchy. Isso ocorre porque, em um espaço completo como os números reais , toda sequência convergente é necessariamente uma sequência de Cauchy.