Prove que as seguintes sequências são de Cauchy.
y_n = (n + 2) / (n + 6).

Passo 1

Vamos lá! Temos que provar que a sequência é uma sequência de Cauchy. Para isso, vamos usar conceitos de análise real, especificamente sobre sequências de Cauchy e suas propriedades. Precisamos entender o que é uma sequência de Cauchy e como aplicar essa definição para mostrar que satisfaz os critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser de Cauchy. Uma sequência é de Cauchy se, para todo número positivo , existe um número natural tal que, para todos os índices e maiores que , a distância entre e é menor que . Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar a diferença para a nossa sequência:
Para simplificar essa expressão, podemos buscar uma forma de torná-la menor que conforme e crescem.

Passo 4

Observamos que conforme tende ao infinito, tende a 1:
Isso significa que a sequência converge para 1.

Passo 5

Sabendo que converge para 1, podemos concluir que a sequência é de Cauchy. Isso ocorre porque, em um espaço completo como os números reais , toda sequência convergente é necessariamente uma sequência de Cauchy.

Resposta

A sequência é uma sequência de Cauchy.

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