Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa mostrar que ela tem apenas uma solução real. Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e derivadas para entender como o gráfico de
se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. Como temos
, sabemos que
precisa ser maior que zero (
). Então, só vamos trabalhar com valores positivos de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites da função:
- Quando
se aproxima de zero ( ), vai para -infinito e vai para 0, então . - Quando
vai para infinito ( ), tanto quanto crescem, então .
Isso mostra que a função vai de -infinito a +infinito no domínio
.
Passo 4
Vamos olhar a derivada da função para entender se ela é crescente ou decrescente:
Como
,
é sempre positivo, então
para todo
. Isso significa que a função
é estritamente crescente no seu domínio.
Passo 5
Como a função é contínua, vai de -infinito a +infinito e é estritamente crescente, ela vai cruzar o eixo
apenas uma vez. Isso garante que a equação
tem uma única raiz real.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real.
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Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Calcule os seguintes limites:
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.