Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa mostrar que ela tem apenas uma solução real. Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e derivadas para entender como o gráfico de se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. Como temos , sabemos que precisa ser maior que zero ( ). Então, só vamos trabalhar com valores positivos de .

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites da função:
  • Quando se aproxima de zero ( ), vai para -infinito e vai para 0, então .
  • Quando vai para infinito ( ), tanto quanto crescem, então .
Isso mostra que a função vai de -infinito a +infinito no domínio .

Passo 4

Vamos olhar a derivada da função para entender se ela é crescente ou decrescente:
Como , é sempre positivo, então para todo . Isso significa que a função é estritamente crescente no seu domínio.

Passo 5

Como a função é contínua, vai de -infinito a +infinito e é estritamente crescente, ela vai cruzar o eixo apenas uma vez. Isso garante que a equação tem uma única raiz real.

Resposta

A equação possui uma única raiz real.

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Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Calcule os seguintes limites:
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.