Prove que toda sequência de números reais decrescente e limitada inferiormente é convergente e converge para o ínfimo do conjunto de seus termos.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que toda sequência de números reais que é decrescente e limitada inferiormente converge, e que o limite dessa sequência é o ínfimo do conjunto dos seus termos. Isso está relacionado aos conceitos de sequências monótonas e limites na matéria de Análise Matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser decrescente, estar limitada inferiormente, e o que é o ínfimo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência decrescente. Uma sequência é decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, para todo . Isso significa que a sequência está sempre “caindo” ou se mantendo constante.

Passo 3

Agora, uma sequência é limitada inferiormente se existe um número real que é menor ou igual a todos os termos da sequência. Em outras palavras, para todo . Esse número é chamado de limita inferior da sequência.

Passo 4

O próximo passo é entender o que é o ínfimo do conjunto dos termos da sequência. O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Formalmente, se considerarmos , então o ínfimo de , denotado por , é tal que:
  1. para todo .
  2. Se é qualquer número com para todo , então .

Passo 5

Para provar que a sequência converge para o ínfimo, vamos usar o Teorema da Convergência para Sequências Monótonas. Esse teorema diz que toda sequência monótona e limitada converge, e o limite é o seu supremo se for crescente, ou o ínfimo se for decrescente.

Passo 6

Como nossa sequência é decrescente e está limitada inferiormente por , pelo teorema, ela converge. Além disso, o limite da sequência será o maior número que ainda é uma cota inferior para todos os termos, ou seja, o ínfimo de .

Resposta

Portanto, toda sequência de números reais que é decrescente e limitada inferiormente é convergente, e o seu limite é o ínfimo do conjunto dos seus termos.

Exercícios relacionados

Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar: .
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Prove que as seguintes sequências são de Cauchy.
.
Calcule os seguintes limites: