Use a definição de limites para mostrar que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limites, que quando
se aproxima de -3, a expressão
se aproxima de 2. A matéria aqui é Cálculo, especificamente o conceito de limites usando a definição formal (aquela com
e
). Vamos precisar entender bem essa definição e aplicar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Precisamos mostrar que para qualquer
, podemos encontrar um
que satisfaça essa condição.
Passo 3
Vamos começar calculando a diferença
:
Queremos que isso seja menor que
:
Agora, vamos simplificar essa expressão para relacionar com
:
Então, queremos:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 4
Com base nisso, podemos escolher
como sendo
. Assim, sempre que
, teremos
, que é exatamente o que queremos.
Portanto, para qualquer
, se escolhermos:
então a condição da definição de limite será satisfeita.
Resposta
Usando a definição de limites, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas:
;
Construir o esboço gráfico das funções:
Sabendo que
, para todos os valores de
próximos a zero, calcule
Calcule os seguintes limites:
, em que
.