Use a definição de limites para mostrar que: lim t -3(4 t+14)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limites, que quando se aproxima de -3, a expressão se aproxima de 2. A matéria aqui é Cálculo, especificamente o conceito de limites usando a definição formal (aquela com e ). Vamos precisar entender bem essa definição e aplicar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que:
limt to a f(t) = L
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um que satisfaça essa condição.

Passo 3

Vamos começar calculando a diferença |f(t) - L| = |4t + 14 - 2| = |4t + 12| :
|4t + 12| < epsilon
Queremos que isso seja menor que |4t + 12| = 4|t + 3| :
4|t + 3| < epsilon
Agora, vamos simplificar essa expressão para relacionar com |t + 3| < epsilon4 :
Então, queremos:
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 4

Com base nisso, podemos escolher de como sendo . Assim, sempre que , teremos , que é exatamente o que queremos.
Portanto, para qualquer , se escolhermos:
então a condição da definição de limite será satisfeita.

Resposta

Usando a definição de limites, mostramos que .

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