Use a definição de limites para mostrar que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limites, que quando se aproxima de -3, a expressão se aproxima de 2. A matéria aqui é Cálculo, especificamente o conceito de limites usando a definição formal (aquela com e ). Vamos precisar entender bem essa definição e aplicar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um que satisfaça essa condição.

Passo 3

Vamos começar calculando a diferença :
Queremos que isso seja menor que :
Agora, vamos simplificar essa expressão para relacionar com :
Então, queremos:
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 4

Com base nisso, podemos escolher como sendo . Assim, sempre que , teremos , que é exatamente o que queremos.
Portanto, para qualquer , se escolhermos:
então a condição da definição de limite será satisfeita.

Resposta

Usando a definição de limites, mostramos que .

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Sabendo que , para todos os valores de próximos a zero, calcule
Calcule os seguintes limites: , em que .