Calcule os seguintes limites.
lim x 0 1-raiz1-x^2x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular . Isso envolve cálculo de limites e manipulação algébrica, especialmente a técnica de racionalizar o numerador. Vamos precisar simplificar a expressão para avaliar o limite quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão . O problema aqui é o no numerador, que pode dificultar a avaliação direta do limite. Para simplificar, vamos racionalizar o numerador, ou seja, multiplicar e dividir pela forma conjugada do numerador.

Passo 3

A forma conjugada de 1 - raiz1 - x^2x^2 times 1 + raiz1 - x^21 + raiz1 - x^2 é . Então, multiplicamos o numerador e o denominador por isso:

Passo 4

Ao multiplicar os numeradores, usamos a identidade (1 - raiz1 - x^2)(1 + raiz1 - x^2) = 1^2 - (raiz1 - x^2)^2 = 1 - (1 - x^2) = x^2 . Aplicando isso:
x^2x^2 (1 + raiz1 - x^2)
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar x^2x^2 (1 + raiz1 - x^2) = 11 + raiz1 - x^2 no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo lim x 0 11 + raiz1 - x^2 = 11 + raiz1 - 0 = 11 + 1 = 12 :

Resposta

lim x 0 1-raiz1-x^2x^2 = 12

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