Calcule os seguintes limites: lim x 0 raiz[4]8 x^3+4 x+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite . Esse exercício é de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como os termos dentro da raiz se comportam quando se aproxima de 0 e como isso afeta o resultado final da expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz quarta: . Quando se aproxima de 0, os termos que têm elevado a alguma potência vão influenciar menos no valor total, especialmente os de maior potência.

Passo 3

Vamos analisar cada termo:
  • : Quando é perto de 0, fica bem pequeno, então também será bem pequeno.
  • : Similarmente, também tende a 0 quando se aproxima de 0.
  • : Esse é um termo constante, que não muda com .
Então, quando está muito perto de 0, a expressão é aproximadamente igual a apenas 4, porque os outros dois termos são quase desprezíveis.

Passo 4

Agora, substituindo essa aproximação na raiz quarta, temos:
raiz[4]8x^3 + 4x + 4 approx raiz[4]4

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a raiz quarta de 4. A raiz quarta de um número é aquele que, multiplicado por si mesmo quatro vezes, dá o número original. Sabemos que:
raiz[4]4 = 4^1/4
Calculando , temos aproximadamente 1,4142.

Resposta

O limite é aproximadamente .

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