circledast Uma partícula está se movendo ao longo da curva tendo como equações paramétricas
x = 4 cos(t/2) e y = 4 sen(t/2)
Se x e y são medidos em centímetros, encontre a velocidade escalar e o módulo do vetor aceleração da partícula em t segundos. Faça um esboço da trajetória da partícula, e trace as representações do vetor velocidade e do vetor aceleração tendo como ponto inicial t = pi / 3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo de uma curva definida pelas equações paramétricas:
Aqui, e x são medidas em centímetros, e y está em segundos. Nosso objetivo é encontrar:
  1. A velocidade escalar da partícula em um dado instante t.
  2. O módulo do vetor aceleração da partícula no mesmo instante.
  3. Esboçar a trajetória da partícula.
  4. Traçar os vetores velocidade e aceleração no ponto t.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração a partir das equações paramétricas.

Passo 2

Vamos começar encontrando as componentes da velocidade da partícula. A velocidade é dada pela derivada das posições x e y em relação ao tempo t. Ou seja:
Primeiro, derivamos x em relação a t:
Em seguida, derivamos em relação a y:
Assim, a velocidade vetorial t é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade escalar, que é o módulo da velocidade vetorial. A velocidade escalar v é dada por:
Substituindo os valores de e :
Sabemos que , então:
Portanto, a velocidade escalar da partícula é constante e igual a 2 cm/s.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo t. Ou seja:
Derivando :
Derivando :
Portanto, o vetor aceleração é:

Passo 5

Vamos calcular agora o módulo do vetor aceleração a. Assim como fizemos para a velocidade, temos:
Portanto, o módulo da aceleração é constante e igual a 1 cm/s².

Passo 6

Vamos esboçar a trajetória da partícula. Observando as equações paramétricas:
Podemos notar que estas são as equações paramétricas de um círculo de raio 4 cm. Isso porque:
Portanto, a trajetória da partícula é um c��rculo de raio 4 cm.

Passo 7

Por fim, vamos traçar os vetores velocidade e aceleração no instante . Primeiro, vamos calcular os componentes em .
Calculando e :
Então, o vetor velocidade é:
Agora, calculando e :
Portanto, o vetor aceleração é:
Em um esboço da trajetória (círculo de raio 4 cm), no ponto correspondente a , você pode desenhar:
  • O vetor velocidade apontando tangente ao círculo, com componentes .
  • O vetor aceleração apontando radialmente para o centro do círculo, com componentes .

Resposta

A velocidade escalar da partícula é 2 cm/s, e o módulo do vetor aceleração é 1 cm/s². No instante , o vetor velocidade é cm/s e o vetor aceleração é cm/s².

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