Uma partícula está se movendo ao longo da curva tendo como equações paramétricas
Se
e
são medidos em centímetros, encontre a velocidade escalar e o módulo do vetor aceleração da partícula em
segundos. Faça um esboço da trajetória da partícula, e trace as representações do vetor velocidade e do vetor aceleração tendo como ponto inicial
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo de uma curva definida pelas equações paramétricas:
Aqui,
e
são medidas em centímetros, e
está em segundos. Nosso objetivo é encontrar:
- A velocidade escalar da partícula em um dado instante
. - O módulo do vetor aceleração da partícula no mesmo instante.
- Esboçar a trajetória da partícula.
- Traçar os vetores velocidade e aceleração no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração a partir das equações paramétricas.
Passo 2
Vamos começar encontrando as componentes da velocidade da partícula. A velocidade é dada pela derivada das posições
e
em relação ao tempo
. Ou seja:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Assim, a velocidade vetorial
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade escalar, que é o módulo da velocidade vetorial. A velocidade escalar
é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Sabemos que , então:
Portanto, a velocidade escalar da partícula é constante e igual a 2 cm/s.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo
. Ou seja:
Derivando
:
Derivando
:
Portanto, o vetor aceleração
é:
Passo 5
Vamos calcular agora o módulo do vetor aceleração
. Assim como fizemos para a velocidade, temos:
Portanto, o módulo da aceleração é constante e igual a 1 cm/s².
Passo 6
Vamos esboçar a trajetória da partícula. Observando as equações paramétricas:
Podemos notar que estas são as equações paramétricas de um círculo de raio 4 cm. Isso porque:
Portanto, a trajetória da partícula é um c��rculo de raio 4 cm.
Passo 7
Por fim, vamos traçar os vetores velocidade e aceleração no instante
. Primeiro, vamos calcular os componentes em
.
Calculando
e
:
Então, o vetor velocidade é:
Agora, calculando
e
:
Portanto, o vetor aceleração é:
Em um esboço da trajetória (círculo de raio 4 cm), no ponto correspondente a
, você pode desenhar:
- O vetor velocidade apontando tangente ao círculo, com componentes
. - O vetor aceleração apontando radialmente para o centro do círculo, com componentes
.
Resposta
A velocidade escalar da partícula é 2 cm/s, e o módulo do vetor aceleração é 1 cm/s². No instante
, o vetor velocidade é
cm/s e o vetor aceleração é
cm/s².
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Nos exercícios dados, encontre (a) o vetor velocidade e o vetor aceleração, (b) a velocidade escalar e © as componentes normal e tangencial da aceleração.
(a)
(b)
(a)
(b)
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: