Calcule os seguintes limites: lim x 0 raizx^2+4-2raizx^2+9-3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função quando limx to 0 raizx^2+4 - 2raizx^2+9 - 3 se aproxima de 0. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e manipulação de expressões algébricas, especialmente a racionalização.

Passo 2

Vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz0^2+4 - 2raiz0^2+9 - 3 = raiz4 - 2raiz9 - 3 = 2 - 23 - 3 = 00 diretamente na função:
Encontramos uma forma indeterminada , o que nos indica que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver limites que resultam em formas indeterminadas, uma técnica útil é a racionalização. Vamos racionalizar o numerador e o denominador multiplicando cada um pela sua conjugada.
Primeiro, racionalizamos o numerador:
raizx^2+4 - 2
Multiplicamos e dividimos por (raizx^2+4 - 2)(raizx^2+4 + 2)raizx^2+4 + 2 = (x^2+4) - 4raizx^2+4 + 2 = x^2raizx^2+4 + 2 :

Passo 4

Agora, racionalizamos o denominador:
raizx^2+9 - 3
Multiplicamos e dividimos por (raizx^2+9 - 3)(raizx^2+9 + 3)raizx^2+9 + 3 = (x^2+9) - 9raizx^2+9 + 3 = x^2raizx^2+9 + 3 :

Passo 5

Substituímos as expressões racionalizadas na função original:
limx to 0 x^2raizx^2+4 + 2x^2raizx^2+9 + 3 = limx to 0 x^2raizx^2+4 + 2 times raizx^2+9 + 3x^2
Os limx to 0 raizx^2+9 + 3raizx^2+4 + 2 se cancelam:

Passo 6

Agora, substituímos raiz0^2+9 + 3raiz0^2+4 + 2 = raiz9 + 3raiz4 + 2 = 3 + 32 + 2 = 64 = 32 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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