Calcule os seguintes limites: lim x 0 sen(n x)sen(m x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Isso está relacionado ao conteúdo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o seno se comporta quando o ângulo está próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, lembramos de uma propriedade legal: quando está perto de zero, é aproximadamente igual a . Mais formalmente, sabemos que . Vamos usar isso para simplificar nosso limite.

Passo 3

Vamos reescrever o limite usando essa propriedade:
Aqui, separamos os termos de forma que cada fração que envolve o seno tenha o formato , que sabemos que tende a 1 quando limx 0 sen(n x)sen(m x) = limx 0 sen(n x)n x cdot m xsen(m x) cdot nm vai para zero.

Passo 4

Agora, avaliamos cada parte:
Multiplicando tudo, temos:
limx 0 sen(n x)n x = 1 e limx 0 m xsen(m x) = 1

Resposta

nm

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