Calcule os seguintes limites: lim x 0 sen 5 x-sen 3 xsen x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos calcular o limite:
lim x 0 sen 5x - sen 3xsen x
Nessa questão, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver, vamos utilizar identidades trigonométricas e propriedades de limites.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador usando a identidade trigonométrica para a diferença de senos:
sen A - sen B = 2 cdot cos( A + B2 ) cdot sen( A - B2 )
Aplicando essa identidade com sen 5x - sen 3x = 2 cdot cos( 5x + 3x2 ) cdot sen( 5x - 3x2 ) = 2 cos(4x) cdot sen(x) e :

Passo 3

Substituindo essa expressão de volta no limite original:
lim x 0 2 cos(4x) cdot sen(x)sen x
Podemos simplificar cancelando lim x 0 2 cos(4x) no numerador e denominador:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de lim x 0 2 cos(4x) = 2 cdot cos(0) = 2 cdot 1 = 2 quando tende a 0. Sabemos que , então:

Resposta

O limite é igual a 2.

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