Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente quando
se aproxima de 0 pela direita (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
fica bem pequeno, ou seja, se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que, conforme
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Isso porque a raiz quadrada de um número muito pequeno é ainda menor. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. A função seno,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Então, independente de como
se comporta quando
se aproxima de 0, o seno desse valor sempre estará entre -1 e 1. Portanto:
Passo 4
Usando essa informação, podemos determinar os limites para
. Já que o exponencial de qualquer número entre -1 e 1 vai estar entre
e
, temos:
Isso nos mostra que
está limitado e não cresce infinitamente quando
se aproxima de 0.
Passo 5
Agora, queremos encontrar o limite do produto dessas duas funções. Sabemos que
tende a 0 e
está limitado entre
e
. Quando multiplicamos algo que está ficando menor e menor (como
) por algo que não está crescendo para o infinito (como
), o resultado também tende a 0.
Matematicamente:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
a)
Existe um número
tal que
exista? Caso exista, encontre
e o valor do limite.
a)