Calcule os seguintes limites: lim x 0^+ raizx e^sen(pi / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0^+ raizx cdot e^sin(pix)
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando fica bem pequeno, ou seja, se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função limx to 0^+ raizx = 0 . Sabemos que, conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Isso porque a raiz quadrada de um número muito pequeno é ainda menor. Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função -1 <= sin(pix) <= 1 . A função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, independente de como se comporta quando se aproxima de 0, o seno desse valor sempre estará entre -1 e 1. Portanto:

Passo 4

Usando essa informação, podemos determinar os limites para e^-1 <= e^sin(pix) <= e^1 . Já que o exponencial de qualquer número entre -1 e 1 vai estar entre e , temos:
Isso nos mostra que está limitado e não cresce infinitamente quando se aproxima de 0.

Passo 5

Agora, queremos encontrar o limite do produto dessas duas funções. Sabemos que limx to 0^+ raizx cdot e^sin(pix) = 0 tende a 0 e está limitado entre e . Quando multiplicamos algo que está ficando menor e menor (como ) por algo que não está crescendo para o infinito (como ), o resultado também tende a 0.
Matematicamente:

Resposta

lim x 0^+ raizx cdot e^sin(pix) = 0

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