Existe um número alpha tal que
lim x -2 3 x^2+alpha x+alpha+3x^2+x-2
exista? Caso exista, encontre alpha e o valor do limite.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a seguinte questão:
Existe um número lim x -2 3 x^2+alpha x+alpha+3x^2+x-2 tal que
existir? Se existir, precisamos encontrar e o valor desse limite.
Aqui, estamos lidando com limites em cálculo, especificamente com limites que podem resultar em uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão do limite:
lim x -2 3 x^2+alpha x+alpha+3x^2+x-2
A primeira coisa que devemos verificar é o que acontece com o denominador quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o denominador no ponto x^2 + x - 2 = (-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 :
3 (-2)^2 + alpha (-2) + alpha + 3 = 0
Então, o denominador se anula em . Para que o limite exista, o numerador também precisa ser zero nesse ponto, evitando uma divisão por zero indeterminada. Ou seja, devemos ter:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para 3 times 4 + (-2)alpha + alpha + 3 = 0 12 - 2alpha + alpha + 3 = 0 15 - alpha = 0 alpha = 15 :
Então, é o valor que faz o numerador se anular em , garantindo que o limite exista.

Passo 5

Agora, vamos substituir 3x^2 + 15x + 15 + 3x^2 + x - 2 = 3x^2 + 15x + 18x^2 + x - 2 na expressão original e simplificar:
3x^2 + 15x + 18 = 3(x^2 + 5x + 6) = 3(x + 2)(x + 3)
Podemos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Denominador:

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão cancelando os fatores comuns:
3(x + 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1) = 3(x + 3)x - 1
Agora, podemos calcular o limite substituindo lim x -2 3(x + 3)x - 1 = 3(-2 + 3)-2 - 1 = 3(1)-3 = -1 :

Resposta

Sim, existe e o valor do limite é .

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