Existe um número tal que
exista? Caso exista, encontre e o valor do limite.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a seguinte questão:
Existe um número tal que
existir? Se existir, precisamos encontrar e o valor desse limite.
Aqui, estamos lidando com limites em cálculo, especificamente com limites que podem resultar em uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão do limite:
A primeira coisa que devemos verificar é o que acontece com o denominador quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o denominador no ponto :
Então, o denominador se anula em . Para que o limite exista, o numerador também precisa ser zero nesse ponto, evitando uma divisão por zero indeterminada. Ou seja, devemos ter:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para :
Então, é o valor que faz o numerador se anular em , garantindo que o limite exista.

Passo 5

Agora, vamos substituir na expressão original e simplificar:
Podemos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão cancelando os fatores comuns:
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

Sim, existe e o valor do limite é .

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a)
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