Existe um número
tal que
exista? Caso exista, encontre
e o valor do limite.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a seguinte questão:
Existe um número
tal que
existir? Se existir, precisamos encontrar
e o valor desse limite.
Aqui, estamos lidando com limites em cálculo, especificamente com limites que podem resultar em uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão do limite:
A primeira coisa que devemos verificar é o que acontece com o denominador quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos calcular o denominador no ponto
:
Então, o denominador se anula em
. Para que o limite exista, o numerador também precisa ser zero nesse ponto, evitando uma divisão por zero indeterminada. Ou seja, devemos ter:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
:
Então,
é o valor que faz o numerador se anular em
, garantindo que o limite exista.
Passo 5
Agora, vamos substituir
na expressão original e simplificar:
Podemos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão cancelando os fatores comuns:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
Sim, existe
e o valor do limite é
.
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a)
Calcule
de modo que a função
seja contínua
a)
a)