Calcule os seguintes limites.
o)
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Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Aqui a gente vai trabalhar com limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar manipular a expressão para conseguir simplificar e chegar a uma resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor
diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma indeterminação do tipo
, que significa que precisamos de uma técnica para simplificar a expressão e resolver o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação como
, uma estratégia comum é racionalizar o numerador ou o denominador. Nesse caso, vamos racionalizar o numerador, ou seja, multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador.
Passo 4
A conjugada de
é
. Então, vamos multiplicar a fração original por
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar os termos do numerador usando a fórmula do produto notável
:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Perceba que
é igual a
vezes
:
Substituindo na expressão:
Agora, simplificamos cancelando
no numerador e denominador.
Passo 7
Com a expressão simplificada, podemos substituir
por
diretamente: