Calcule os seguintes limites.
o) lim x 4 2-raizxx-4

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Aqui a gente vai trabalhar com limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar manipular a expressão para conseguir simplificar e chegar a uma resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor 2 - raiz44 - 4 = 2 - 20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma indeterminação do tipo , que significa que precisamos de uma técnica para simplificar a expressão e resolver o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação como , uma estratégia comum é racionalizar o numerador ou o denominador. Nesse caso, vamos racionalizar o numerador, ou seja, multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador.

Passo 4

A conjugada de 2 - raizxx - 4 times 2 + raizx2 + raizx = (2 - raizx)(2 + raizx)(x - 4)(2 + raizx) é . Então, vamos multiplicar a fração original por :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos do numerador usando a fórmula do produto notável (2 - raizx)(2 + raizx) = 2^2 - (raizx)^2 = 4 - x :
4 - x(x - 4)(2 + raizx)
Então, a expressão fica:

Passo 6

Perceba que 4 - x = - (x - 4) é igual a - (x - 4)(x - 4)(2 + raizx) = -12 + raizx vezes :
Substituindo na expressão:
Agora, simplificamos cancelando no numerador e denominador.

Passo 7

Com a expressão simplificada, podemos substituir -12 + raiz4 = -12 + 2 = -14 por diretamente:

Resposta

lim x 4 2-raizxx-4 = -14

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