Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente quando
e quando
. Queremos verificar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, precisamos analisar o limite da função quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de
quando
tende a
. A função para
é dada por:
Para facilitar essa análise, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
.
Passo 3
Substituindo nas coordenadas polares, a função fica:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende a 0:
Passo 4
Sabemos que
é uma função oscilante que está sempre entre -1 e 1. Portanto:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Pela propriedade do limite, se uma função está limitada por duas outras funções que tendem a 0, então ela própria tende a 0.
Passo 5
Então, temos:
Esse é o limite da função
quando
tende a
.
Passo 6
Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função no ponto
. Pelo enunciado,
.
Resposta
Como o limite de
quando
tende a
é igual ao valor da função nesse ponto, a função
é contínua no ponto
.