Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
d(x, y)= (x^2+y^2) cos (x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente quando e quando . Queremos verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, precisamos analisar o limite da função quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de d(x, y) = (x^2 + y^2) cos(x^2 + y^2) quando tende a . A função para é dada por:
Para facilitar essa análise, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, .

Passo 3

Substituindo nas coordenadas polares, a função fica:
d(r, theta) = r^2 cos(r^2)
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limr to 0 r^2 cos(r^2) tende a 0:

Passo 4

Sabemos que - r^2 <= r^2 cos(r^2) <= r^2 é uma função oscilante que está sempre entre -1 e 1. Portanto:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Pela propriedade do limite, se uma função está limitada por duas outras funções que tendem a 0, então ela própria tende a 0.

Passo 5

Então, temos:
limr to 0 r^2 cos(r^2) = 0
Esse é o limite da função quando tende a .

Passo 6

Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função no ponto . Pelo enunciado, .

Resposta

Como o limite de quando tende a é igual ao valor da função nesse ponto, a função é contínua no ponto .

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