Calcule os seguintes limites: lim x rightarrow-infty frac6 x^2sqrt[3]5 x^6-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
lim x infty 6 x^2raiz[3]5 x^6 -1
Esse problema está ligado ao estudo de limites no cálculo, especificamente analisando o comportamento de funções quando cresce sem limites (tende ao infinito). Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e entender como cada parte dela se comporta conforme fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz cúbica no denominador: . Quando cresce muito, o termo domina, e o “-1” se torna irrelevante. Então, podemos simplificar essa parte considerando apenas o termo de maior ordem.

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da raiz cúbica:
5x^6 - 1 approx 5x^6 quando x infty
Isso porque, para valores muito grandes de , diminuir 1 não faz diferença significativa.

Passo 4

Agora, vamos tirar a raiz cúbica de raiz[3]5x^6 = (5x^6)^1/3 :
(5x^6)^1/3 = 5^1/3 cdot x^6 cdot (1/3) = 5^1/3 cdot x^2
Aplicando a propriedade das potências:
Então, a raiz cúbica simplifica para .

Passo 5

Substituindo essa simplificação de volta na expressão original do limite:
lim x infty 6x^25^1/3x^2
Perceba que 6x^25^1/3x^2 = 65^1/3 está no numerador e no denominador, então eles se cancelam:

Passo 6

Agora que simplificamos tudo, o limite fica claro:
lim x infty 6x^2raiz[3]5x^6 -1 = 65^1/3

Resposta

O limite é igual a .

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