Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de f(x) = x^3 no ponto a=-1

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de cálculo! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto usando o limite do quociente de Newton. Isso significa que vamos encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico usando a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição do quociente de Newton para a derivada. A derivada de no ponto é definida por:
Isso basicamente nos diz como a função está mudando exatamente no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do limite:

Passo 6

Vamos expandir usando a fórmula do cubo da soma:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 8

Simplificando o numerador:
Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos dividir cada termo do numerador por :

Passo 10

Então, o limite fica:
Quando tende a 0, os termos com vão desaparecer, restando apenas:

Resposta

A derivada de no ponto é .

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
a) derivada de f(x) = x no ponto a = 0
Calcule os seguintes limites: lim x 0 sen(n x)sen(m x)
Calcule os limites laterais: lim x 2^+ f(x)-f(2)x-2 onde
f(x)=c 3 x-1 se x >= 2 6 x^2 se x<2
Seja f(x)=llbracket x rrbracket a função maior inteiro. Para quais valores de a existe lim x a f(x) ?