Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de cálculo! A questão pede para calcular a derivada da função
no ponto
usando o limite do quociente de Newton. Isso significa que vamos encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico usando a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a definição do quociente de Newton para a derivada. A derivada de
no ponto
é definida por:
Isso basicamente nos diz como a função está mudando exatamente no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão do limite:
Passo 6
Vamos expandir
usando a fórmula do cubo da soma:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do limite:
Passo 8
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 10
Então, o limite fica:
Quando
tende a 0, os termos com
vão desaparecer, restando apenas:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
a) derivada de no ponto
a) derivada de
Calcule os seguintes limites:
Calcule os limites laterais:
onde
Seja
a função maior inteiro. Para quais valores de
existe
?