Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de f(x) = x^2 no ponto a = 1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função no ponto usando o limite do quociente de Newton. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada pela fórmula do quociente de Newton:
Nesse caso, e . Então, substituímos esses valores na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular :
Explicando, elevamos ao quadrado porque a função é .

Passo 4

Expandindo :
Isso é resultado de aplicar a identidade algébrica para o quadrado de uma soma.

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do quociente de Newton:
Simplificamos subtraindo de .

Passo 6

Simplificando a expressão no numerador:
Os termos constantes se cancelam.

Passo 7

Podemos fatorar no numerador:
O no numerador e denominador se cancelam, desde que .

Passo 8

Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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