Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
no ponto
usando o limite do quociente de Newton. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada pela fórmula do quociente de Newton:
Nesse caso,
e
. Então, substituímos esses valores na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular
:
Explicando, elevamos
ao quadrado porque a função é
.
Passo 4
Expandindo
:
Isso é resultado de aplicar a identidade algébrica para o quadrado de uma soma.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do quociente de Newton:
Simplificamos subtraindo
de
.
Passo 6
Simplificando a expressão no numerador:
Os termos constantes
se cancelam.
Passo 7
Podemos fatorar
no numerador:
O
no numerador e denominador se cancelam, desde que
.
Passo 8
Agora, aplicamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
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Ache a razão
para a função
: no ponto 2 e
Calcule os seguintes limites:
Calcule os limites laterais:
onde