Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de
. O comprimento é o dobro da largura. O material para a base custa 10 reais por
e o material para o lado custa 6 reais por
. Encontre o custo dos materiais para o mais barato dos contêineres. E se o contêiner tiver uma tampa que é feita do mesmo material usado nos lados?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o custo dos materiais para um contêiner retangular com algumas condições específicas. A matéria que vamos usar aqui é otimização, que ajuda a encontrar o melhor valor (neste caso, o menor custo) considerando certas restrições. Precisamos usar conhecimentos de geometria para calcular áreas e, depois, fazer um pouco de cálculo para minimizar o custo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Largura do contêiner:
metros. - Comprimento: como é o dobro da largura, fica
metros. - Altura: vamos chamar de
metros.
Passo 3
Sabemos que o volume do contêiner deve ser
. A fórmula do volume de um paralelepípedo retangular é:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as áreas das partes do contêiner para determinar o custo.
- Área da base:
- Área dos lados:
- Dois lados com área
: - Dois lados com área
: - Total:
- Dois lados com área
Passo 5
Vamos calcular o custo dos materiais:
- Custo da base:
- Custo dos lados:
- Custo total:
Substituindo
por
:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza o custo, vamos derivar a função de custo em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
, calculamos
:
Passo 8
Agora, calculamos o custo total substituindo
e
:
Passo 9
Agora, vamos considerar o segundo caso onde o contêiner tem uma tampa feita do mesmo material usado nos lados (custa R$6 por
).
Passo 10
A área da tampa é igual à área da base, que é
. Então, o custo da tampa é:
Passo 11
O custo total agora fica:
Substituindo
por
:
Passo 12
Derivando para encontrar o mínimo:
Resolvendo para
:
Passo 13
Com
, calculamos
:
Passo 14
Calculando o custo total:
Resposta
Com a tampa, o custo mínimo dos materiais para o contêiner é de aproximadamente R$191,34.
Exercícios relacionados
Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de
, formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 cm de altura?
Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a
e o outro para o oeste a
. A que taxa está crescendo a distância entre os dois carros duas horas depois?
Calcule os seguintes limites:
Encontre o diferencial
e calcule
para os valores de
e
dados:
e
.