Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de . O comprimento é o dobro da largura. O material para a base custa 10 reais por e o material para o lado custa 6 reais por . Encontre o custo dos materiais para o mais barato dos contêineres. E se o contêiner tiver uma tampa que é feita do mesmo material usado nos lados?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o custo dos materiais para um contêiner retangular com algumas condições específicas. A matéria que vamos usar aqui é otimização, que ajuda a encontrar o melhor valor (neste caso, o menor custo) considerando certas restrições. Precisamos usar conhecimentos de geometria para calcular áreas e, depois, fazer um pouco de cálculo para minimizar o custo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Largura do contêiner: metros.
  • Comprimento: como é o dobro da largura, fica metros.
  • Altura: vamos chamar de metros.

Passo 3

Sabemos que o volume do contêiner deve ser . A fórmula do volume de um paralelepípedo retangular é:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos calcular as áreas das partes do contêiner para determinar o custo.
  • Área da base:
  • Área dos lados:
    • Dois lados com área :
    • Dois lados com área :
    • Total:

Passo 5

Vamos calcular o custo dos materiais:
  • Custo da base:
  • Custo dos lados:
  • Custo total:
Substituindo por :

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza o custo, vamos derivar a função de custo em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Com , calculamos :

Passo 8

Agora, calculamos o custo total substituindo e :

Passo 9

Agora, vamos considerar o segundo caso onde o contêiner tem uma tampa feita do mesmo material usado nos lados (custa R$6 por ).

Passo 10

A área da tampa é igual à área da base, que é . Então, o custo da tampa é:

Passo 11

O custo total agora fica:
Substituindo por :

Passo 12

Derivando para encontrar o mínimo:
Resolvendo para :

Passo 13

Com , calculamos :

Passo 14

Calculando o custo total:

Resposta

Com a tampa, o custo mínimo dos materiais para o contêiner é de aproximadamente R$191,34.

Exercícios relacionados

Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de , formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 cm de altura?
Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a e o outro para o oeste a . A que taxa está crescendo a distância entre os dois carros duas horas depois?
Calcule os seguintes limites:
Encontre o diferencial e calcule para os valores de e dados: e .