Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 cm^3 / min, formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 cm de altura?

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema. Temos uma esteira que está descarregando cascalho a uma taxa de . Esse cascalho forma uma pilha em formato de cone, onde o diâmetro da base e a altura do cone são sempre iguais. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura da pilha está crescendo quando a altura é de 10 cm. Vamos usar conceitos de cálculo de taxas relacionadas e geometria do cone para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
onde é o volume, é o raio da base e é a altura do cone.

Passo 3

Como o diâmetro é igual à altura ( ), o raio será metade da altura:
Vamos substituir na fórmula do volume:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo ( ). Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:

Passo 5

Sabemos que e queremos encontrar quando . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 6

Isolando :

Resposta

A altura da pilha está crescendo a uma taxa de quando a altura é de 10 cm.

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