Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de
, formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 cm de altura?
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema. Temos uma esteira que está descarregando cascalho a uma taxa de
. Esse cascalho forma uma pilha em formato de cone, onde o diâmetro da base e a altura do cone são sempre iguais. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura da pilha está crescendo quando a altura é de 10 cm. Vamos usar conceitos de cálculo de taxas relacionadas e geometria do cone para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
onde
é o volume,
é o raio da base e
é a altura do cone.
Passo 3
Como o diâmetro é igual à altura (
), o raio
será metade da altura:
Vamos substituir
na fórmula do volume:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo (
). Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Passo 5
Sabemos que
e queremos encontrar
quando
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Isolando
:
Resposta
A altura da pilha está crescendo a uma taxa de
quando a altura é de 10 cm.
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e o outro para o oeste a
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.
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