Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que você me mandou:
. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar aplicar algumas técnicas de limites, como a regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver formas indeterminadas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor de
por
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Sabemos que
porque a tangente de múltiplos inteiros de
é zero. Então, temos:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que não conseguimos encontrar o limite apenas substituindo os valores. Por isso, precisamos usar outra técnica para resolver.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma forma indeterminada do tipo
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se o limite
resulta em
ou
, então esse limite é igual ao limite das derivadas das funções:
Vamos aplicar essa regra ao nosso limite.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
- Numerador:
A derivada de
em relação a
é
. Então,
- Denominador:
A derivada de
em relação a
é simplesmente:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 6
Vamos calcular
quando
se aproxima de
:
Sabemos que
e
, então:
Portanto,
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Suponha que
, para todo
. Calcule
.
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto
Ache a razão
para a função
: no ponto 2 e
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto