Calcule os seguintes limites: lim x -2 tan pi xx+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que você me mandou: lim x -2 tan pi xx+2. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar aplicar algumas técnicas de limites, como a regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x por -2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
tan (pi cdot (-2))-2 + 2 = tan (-2pi)0
Sabemos que tan(-2pi) = 0 porque a tangente de múltiplos inteiros de pi é zero. Então, temos:
00
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que não conseguimos encontrar o limite apenas substituindo os valores. Por isso, precisamos usar outra técnica para resolver.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada do tipo 00, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se o limite limx to a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então esse limite é igual ao limite das derivadas das funções:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Vamos aplicar essa regra ao nosso limite.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
  • Numerador: f(x) = tan(pi x)
A derivada de tan(u) em relação a x é sec^2(u) cdot u'. Então,
f'(x) = sec^2(pi x) cdot pi = pi sec^2(pi x)
  • Denominador: g(x) = x + 2
A derivada de x + 2 em relação a x é simplesmente:
g'(x) = 1

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx to -2 tan(pi x)x + 2 = limx to -2 pi sec^2(pi x)1 = pi limx to -2 sec^2(pi x)

Passo 6

Vamos calcular sec(pi x) quando x se aproxima de -2:
pi x quando x to -2 é pi cdot (-2) = -2pi é
Sabemos que sec(-2pi) = 1cos(-2pi) e cos(-2pi) = 1, então:
sec(-2pi) = 11 = 1
Portanto,
sec^2(-2pi) = 1^2 = 1

Resposta

O limite é igual a pi.

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