Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
no ponto
usando o limite do quociente de Newton. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde estudamos como encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Para resolver, vamos precisar entender o que é o quociente de Newton e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o quociente de Newton. A derivada de uma função no ponto
é definida pelo seguinte limite:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à função no ponto
, ou seja, a derivada naquele ponto.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
no ponto
, substituímos na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Substituindo esses valores na expressão do limite:
Passo 5
Simplificando a fração:
Então, o limite fica:
Passo 6
Agora, calculamos o limite. Sabemos que quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, já que qualquer potência positiva de
tende a 0.
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
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no ponto
Ache a razão
para a função
: no ponto 2 e
Suponha que
, para todo
. Calcule
.
Calcule os seguintes limites: