Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de f(x) = x^4 no ponto a = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função no ponto usando o limite do quociente de Newton. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde estudamos como encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Para resolver, vamos precisar entender o que é o quociente de Newton e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o quociente de Newton. A derivada de uma função no ponto é definida pelo seguinte limite:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à função no ponto , ou seja, a derivada naquele ponto.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função no ponto , substituímos na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular e :
Substituindo esses valores na expressão do limite:

Passo 5

Simplificando a fração:
Então, o limite fica:

Passo 6

Agora, calculamos o limite. Sabemos que quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, já que qualquer potência positiva de tende a 0.

Resposta

A derivada de no ponto é .

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Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de f(x) = x no ponto a = 1
Ache a razão Delta y / Delta x para a função y = 1/x: no ponto 2 e Delta x = 1
Suponha que |g(x)| <= x^4, para todo x. Calcule lim x 0 g(x).
Calcule os seguintes limites: lim x -2 tan pi xx+2