Defina tgh(x) = senh(x) / cosh(x) e sech x = 1/cosh x. Mostre que 1 - tgh^2 x = sech^2 x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que . Para isso, vamos usar as definições das funções hiperbólicas e , que já estão dadas no enunciado. Vamos precisar fazer algumas contas com essas definições para chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as definições:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Isso significa elevar ao quadrado:

Passo 4

Queremos encontrar . Substituindo o que calculamos no passo anterior:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, escrevemos o 1 como para ter o mesmo denominador:

Passo 6

Sabemos de identidade das funções hiperbólicas que:
Então, substituindo na nossa expressão:

Passo 7

Observamos que é exatamente a definição de :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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