Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+(tg 2 x)^x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites, logaritmos e aproximações de funções trigonométricas perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão ln((tan 2x)^x) = x cdot ln(tan 2x) . Para facilitar o cálculo do limite, podemos usar o logaritmo natural. Lembre-se que . Então, vamos aplicar o logaritmo natural:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende a 0 pela direita.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de tan 2x approx 2x , x cdot ln(tan 2x) approx x cdot ln(2x) pode ser aproximado por porque quando está próximo de 0. Então, podemos aproximar:
Substituindo isso na expressão do logaritmo:

Passo 4

Vamos agora analisar o limite de x cdot ln(2x) = x cdot (ln 2 + ln x) = x cdot ln 2 + x cdot ln x quando tende a 0. Podemos separar o logaritmo:
Sabemos que e , pois está se aproximando de 0.

Passo 5

Portanto, o limite de limx to 0^+ x cdot ln(tan 2x) = 0 é:
limx to 0^+ (tan 2x)^x = e^0 = 1
Lembrando que isso é o logaritmo natural do nosso limite original. Para encontrar o limite desejado, retornamos exponencialmente:

Resposta

O limite é igual a 1.

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