Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites, logaritmos e aproximações de funções trigonométricas perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para facilitar o cálculo do limite, podemos usar o logaritmo natural. Lembre-se que
. Então, vamos aplicar o logaritmo natural:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende a 0 pela direita.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
,
pode ser aproximado por
porque
quando
está próximo de 0. Então, podemos aproximar:
Substituindo isso na expressão do logaritmo:
Passo 4
Vamos agora analisar o limite de
quando
tende a 0. Podemos separar o logaritmo:
Sabemos que
e
, pois
está se aproximando de 0.
Passo 5
Portanto, o limite de
é:
Lembrando que isso é o logaritmo natural do nosso limite original. Para encontrar o limite desejado, retornamos exponencialmente:
Resposta
O limite
é igual a 1.