Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites, logaritmos e aproximações de funções trigonométricas perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para facilitar o cálculo do limite, podemos usar o logaritmo natural. Lembre-se que . Então, vamos aplicar o logaritmo natural:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende a 0 pela direita.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de , pode ser aproximado por porque quando está próximo de 0. Então, podemos aproximar:
Substituindo isso na expressão do logaritmo:

Passo 4

Vamos agora analisar o limite de quando tende a 0. Podemos separar o logaritmo:
Sabemos que e , pois está se aproximando de 0.

Passo 5

Portanto, o limite de é:
Lembrando que isso é o logaritmo natural do nosso limite original. Para encontrar o limite desejado, retornamos exponencialmente:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e forem diferenciáveis e para , então
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.