Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Temos a função e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender de derivadas, porque elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Isso nos dá a coordenada do ponto onde vamos tangenciar a função.
Sabemos que:
E como:
Então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos uma função , então sua derivada é .
Aqui, e . Suas derivadas são:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Sabemos que:
Então:
A inclinação da reta tangente é , ou seja, a reta é horizontal.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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Calcule os seguintes limites: