Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Temos a função
e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde
. Para isso, vamos precisar entender de derivadas, porque elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Isso nos dá a coordenada
do ponto onde vamos tangenciar a função.
Sabemos que:
E como:
Então:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos uma função
, então sua derivada é
.
Aqui,
e
. Suas derivadas são:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Sabemos que:
Então:
A inclinação da reta tangente é
, ou seja, a reta é horizontal.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
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tem alguma tangente horizontal? Se sim, em qual ponto?
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depende da concentração do reagente
e da temperatura
, dada por
, onde
é uma constante. Mantendo-se a temperatura
constante e sabendo que a concentração de reagente decai exponencialmente com o tempo,
, determine o tempo
que maximiza a produção de calor
.
Calcule os seguintes limites: