Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e forem diferenciáveis e para , então

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , que são diferenciáveis no intervalo . Além disso, sabemos que para todo nesse intervalo. A questão quer saber se, com base nisso, sempre teremos que a derivada de é maior ou igual à derivada de , ou seja, para todo em . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para analisar essa afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável. Se uma função é diferenciável em um intervalo, significa que ela tem uma derivada em todos os pontos desse intervalo. A derivada, , nos dá a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Agora, a afirmação sugere que se está sempre acima ou igual a no intervalo, então a taxa de variação de também estaria acima ou igual à de . Mas será que isso é sempre verdade? Vamos pensar em um exemplo.

Passo 4

Considere as funções:
Vamos analisar no intervalo . Vemos que para todo nesse intervalo, . Agora, vamos ver as derivadas:
  • Para , e . Aqui, .
  • Para , e . Aqui, .

Passo 5

No exemplo acima, vemos que mesmo com em todo o intervalo, a derivada de é menor que a derivada de para . Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. Existe pelo menos um exemplo onde em , mas em algum ponto do intervalo.

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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
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