Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
e
forem diferenciáveis e
para
, então
Se
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
, que são diferenciáveis no intervalo
. Além disso, sabemos que
para todo
nesse intervalo. A questão quer saber se, com base nisso, sempre teremos que a derivada de
é maior ou igual à derivada de
, ou seja,
para todo
em
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para analisar essa afirmação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável. Se uma função é diferenciável em um intervalo, significa que ela tem uma derivada em todos os pontos desse intervalo. A derivada,
, nos dá a taxa de variação da função
em relação a
.
Passo 3
Agora, a afirmação sugere que se
está sempre acima ou igual a
no intervalo, então a taxa de variação de
também estaria acima ou igual à de
. Mas será que isso é sempre verdade? Vamos pensar em um exemplo.
Passo 4
Considere as funções:
Vamos analisar no intervalo
. Vemos que para todo
nesse intervalo,
. Agora, vamos ver as derivadas:
- Para
, e . Aqui, . - Para
, e . Aqui, .
Passo 5
No exemplo acima, vemos que mesmo com
em todo o intervalo, a derivada de
é menor que a derivada de
para
. Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. Existe pelo menos um exemplo onde
em
, mas
em algum ponto do intervalo.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Em uma reação química exotérmica, a taxa de produção de energia térmica
depende da concentração do reagente
e da temperatura
, dada por
, onde
é uma constante. Mantendo-se a temperatura
constante e sabendo que a concentração de reagente decai exponencialmente com o tempo,
, determine o tempo
que maximiza a produção de calor
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Todas as funções contínuas têm primitivas.
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