Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral-5^5(a x^2+b x+c) d x=2 integral0^5(a x^2+c) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
integral-5^5(a x^2+b x+c) dx=2 integral0^5(a x^2+c) dx
Isso envolve cálculo de integrais de funções polinomiais. Vamos precisar usar as regras de integração e entender um pouco sobre funções pares e ímpares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral do lado esquerdo:
integral-5^5(a x^2+b x+c) dx
Vamos separar essa integral em três partes:
  1. Integral de integral-5^5 a x^2 dx = 2a integral0^5 x^2 dx = 2a [ x^33 ]0^5 = 2a ( 1253 ) = 250a3 :
    Como integral-5^5 b x dx = 0 é uma função par (ou seja, integral-5^5 c dx = c cdot (5 - (-5)) = 10c ), a integral de integral-5^5(a x^2+b x+c) dx = 250a3 + 0 + 10c = 250a3 + 10c de a é o dobro da integral de a .
  2. Integral de :
    Agora, é uma função ímpar (porque ), e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico como a é zero.
  3. Integral de :
    é uma constante, então a integral é simplesmente vezes o comprimento do intervalo.
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral do lado direito da igualdade:
2 integral0^5(a x^2+c) dx
Primeiro, vamos calcular a integral interna:
  1. Integral de integral0^5 a x^2 dx = a [ x^33 ]0^5 = a ( 1253 ) = 125a3 :
    integral0^5 c dx = c cdot (5 - 0) = 5c
  2. Integral de integral0^5(a x^2+c) dx = 125a3 + 5c :
    2 ( 125a3 + 5c ) = 250a3 + 10c
Somando as integrais internas:
Agora, multiplicamos por 2:

Passo 4

Vamos comparar os resultados obtidos dos dois lados:
  • Lado Esquerdo:
  • Lado Direito:
Os dois lados são exatamente iguais!

Resposta

Verdadeiro. Ao calcular ambas as integrais, vemos que elas resultam em , confirmando que a igualdade sempre se mantém.

Exercícios relacionados