Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Isso envolve cálculo de integrais de funções polinomiais. Vamos precisar usar as regras de integração e entender um pouco sobre funções pares e ímpares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral do lado esquerdo:
Vamos separar essa integral em três partes:
-
Integral de
:
Comoé uma função par (ou seja, ), a integral de de a é o dobro da integral de a . -
Integral de
:
Agora,é uma função ímpar (porque ), e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico como a é zero. -
Integral de
:
é uma constante, então a integral é simplesmente vezes o comprimento do intervalo.
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral do lado direito da igualdade:
Primeiro, vamos calcular a integral interna:
-
Integral de
: -
Integral de
:
Somando as integrais internas:
Agora, multiplicamos por 2:
Passo 4
Vamos comparar os resultados obtidos dos dois lados:
- Lado Esquerdo:
- Lado Direito:
Os dois lados são exatamente iguais!
Resposta
Verdadeiro. Ao calcular ambas as integrais, vemos que elas resultam em
, confirmando que a igualdade sempre se mantém.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e
forem diferenciáveis e
para
, então
Se
Calcule os seguintes limites:
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Todas as funções contínuas têm primitivas.
Todas as funções contínuas têm primitivas.
Calcule os seguintes limites: