Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
Isso envolve cálculo de integrais de funções polinomiais. Vamos precisar usar as regras de integração e entender um pouco sobre funções pares e ímpares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral do lado esquerdo:
Vamos separar essa integral em três partes:
  1. Integral de :
    Como é uma função par (ou seja, ), a integral de de a é o dobro da integral de a .
  2. Integral de :
    Agora, é uma função ímpar (porque ), e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico como a é zero.
  3. Integral de :
    é uma constante, então a integral é simplesmente vezes o comprimento do intervalo.
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral do lado direito da igualdade:
Primeiro, vamos calcular a integral interna:
  1. Integral de :
  2. Integral de :
Somando as integrais internas:
Agora, multiplicamos por 2:

Passo 4

Vamos comparar os resultados obtidos dos dois lados:
  • Lado Esquerdo:
  • Lado Direito:
Os dois lados são exatamente iguais!

Resposta

Verdadeiro. Ao calcular ambas as integrais, vemos que elas resultam em , confirmando que a igualdade sempre se mantém.

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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e forem diferenciáveis e para , então
Calcule os seguintes limites:
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Todas as funções contínuas têm primitivas.
Calcule os seguintes limites: