Em uma reação química exotérmica, a taxa de produção de energia térmica
depende da concentração do reagente
e da temperatura
, dada por
, onde
é uma constante. Mantendo-se a temperatura
constante e sabendo que a concentração de reagente decai exponencialmente com o tempo,
, determine o tempo
que maximiza a produção de calor
.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reação química exotérmica, ou seja, que libera calor. A taxa de produção de energia térmica, chamada de
, depende da concentração do reagente
e da temperatura
. A fórmula dada é:
Onde:
-
é uma constante. -
representa como a concentração do reagente diminui exponencialmente com o tempo. -
é a temperatura constante.
Queremos descobrir o tempo
que maximiza a produção de calor
. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a expressão da concentração
e a temperatura
na fórmula de
:
Como
é constante, podemos simplificar:
Aqui,
é uma função que depende de
, e queremos encontrar o valor de
onde
é máximo.
Passo 3
Observamos que
é uma função exponencial decrescente, porque o termo
diminui conforme
aumenta. Em funções desse tipo, o valor máximo ocorre no menor valor possível de
.
Passo 4
Para confirmar isso, podemos calcular a derivada de
em relação a
e encontrar onde ela é igual a zero, que é o ponto onde a função pode ter um máximo ou mínimo.
Igualando a derivada a zero:
Como exponenciais nunca são zero, a única solução é quando
.
Passo 5
Isso confirma que o máximo de
ocorre no início da reação, ou seja, no instante
.
Resposta
O tempo que maximiza a produção de calor
é
.
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Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Determine a equaçâo da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
Calcule os seguintes limites:
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e
forem diferenciáveis e
para
, então
Se