Em uma reação química exotérmica, a taxa de produção de energia térmica depende da concentração do reagente e da temperatura , dada por , onde é uma constante. Mantendo-se a temperatura constante e sabendo que a concentração de reagente decai exponencialmente com o tempo, , determine o tempo que maximiza a produção de calor .

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reação química exotérmica, ou seja, que libera calor. A taxa de produção de energia térmica, chamada de , depende da concentração do reagente e da temperatura . A fórmula dada é:
Onde:
  • é uma constante.
  • representa como a concentração do reagente diminui exponencialmente com o tempo.
  • é a temperatura constante.
Queremos descobrir o tempo que maximiza a produção de calor . Vamos usar conceitos de funções exponenciais e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a expressão da concentração e a temperatura na fórmula de :
Como é constante, podemos simplificar:
Aqui, é uma função que depende de , e queremos encontrar o valor de onde é máximo.

Passo 3

Observamos que é uma função exponencial decrescente, porque o termo diminui conforme aumenta. Em funções desse tipo, o valor máximo ocorre no menor valor possível de .

Passo 4

Para confirmar isso, podemos calcular a derivada de em relação a e encontrar onde ela é igual a zero, que é o ponto onde a função pode ter um máximo ou mínimo.
Igualando a derivada a zero:
Como exponenciais nunca são zero, a única solução é quando .

Passo 5

Isso confirma que o máximo de ocorre no início da reação, ou seja, no instante .

Resposta

O tempo que maximiza a produção de calor é .

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Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .
Determine a equaçâo da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa
Calcule os seguintes limites:
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e forem diferenciáveis e para , então