Calcule os seguintes limites:
a) lim x 0 xraiz4-x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental no Cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para evitar uma indeterminação que aparece quando substituímos diretamente .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 0raiz4-0-2 = 02-2 = 00 diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que dão é racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. No nosso caso, a expressão conjugada de é .

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por xraiz4-x-2 times raiz4-x+2raiz4-x+2 = x(raiz4-x+2)(raiz4-x)^2 - (2)^2 :
Aqui, usamos a identidade .

Passo 5

Calculando o denominador:
(raiz4-x)^2 - 2^2 = (4 - x) - 4 = -x
Então, a expressão fica:
x(raiz4-x+2)-x
Podemos simplificar o cancelx(raiz4-x+2)-cancelx = -(raiz4-x+2) do numerador e do denominador:

Passo 6

Agora, substituímos -(raiz4-0+2) = -(2 + 2) = -4 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a) d y/d x = x (x^2 + 3)^4
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
20) lim (1-1k^2)^k.
Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequências.
25) Prove que se as subsequência par (a2 k) e a subsequência ímpar (a2 k+1) convergem para L, então, a sequência (ak) é tal que lim ak=L. Dica: parta da definição de limites de uma subsequência e use a outra para para mostrar que a definição também se aplica a à sequência.
Calcule, usando a definição, a derivada primeira das seguintes funções: f(x) = x + sen(2x)