Calcule os seguintes limites:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental no Cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para evitar uma indeterminação que aparece quando substituímos diretamente
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver limites que dão
é racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. No nosso caso, a expressão conjugada de
é
.
Passo 4
Vamos multiplicar o numerador e o denominador por
:
Aqui, usamos a identidade
.
Passo 5
Calculando o denominador:
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar o
do numerador e do denominador:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
20) .
20)
Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequências.
25) Prove que se as subsequência par e a subsequência ímpar
convergem para
, então, a sequência
é tal que
. Dica: parta da definição de limites de uma subsequência e use a outra para para mostrar que a definição também se aplica a à sequência.
25) Prove que se as subsequência par
Calcule, usando a definição, a derivada primeira das seguintes funções: