Calcule, usando a definição, a derivada primeira das seguintes funções: f(x) = x + sen(2x)

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos calcular a derivada primeira da função usando a definição de derivada. Vamos precisar usar a definição de limite da derivada e aplicar propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

A definição da derivada é:

Passo 3

Calculamos :

Passo 4

Subtraímos :

Passo 5

Dividimos por :

Passo 6

Usamos a identidade trigonométrica para :
Então:

Passo 7

Sabemos que:
Portanto:

Passo 8

Juntando tudo:

Resposta

A derivada primeira da função é:

Exercícios relacionados

Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequências.
25) Prove que se as subsequência par (a2 k) e a subsequência ímpar (a2 k+1) convergem para L, então, a sequência (ak) é tal que lim ak=L. Dica: parta da definição de limites de uma subsequência e use a outra para para mostrar que a definição também se aplica a à sequência.
Calcule os seguintes limites:
a) lim x 0 xraiz4-x-2
Se k for uma constante, lim x p f(x)=L e lim x p g(x)=L1, então
lim x p[f(x)+g(x)]=L+L1=lim x p f(x)+lim x p g(x).
Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções g(x) = cotg(x-1) / (x^2 - 1)