Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo que vamos usar aqui é integração, que é uma ferramenta matemática para encontrar funções a partir de suas taxas de variação. Para resolver, vamos precisar integrar o lado direito da equação em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a integração:
Agora, para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados:
Passo 3
Vamos usar a substituição para resolver essa integral. A substituição é uma técnica que simplifica a integral substituindo partes dela por uma nova variável. Vamos escolher:
Então, derivando
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral:
Passo 5
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração, que aparece sempre que fazemos uma antiderivada.
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
20) .
20)
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
16) .
16)
Calcule os seguintes limites:
a)
a)
Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequências.
25) Prove que se as subsequência par e a subsequência ímpar
convergem para
, então, a sequência
é tal que
. Dica: parta da definição de limites de uma subsequência e use a outra para para mostrar que a definição também se aplica a à sequência.
25) Prove que se as subsequência par