Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a) d y/d x = x (x^2 + 3)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo que vamos usar aqui é integração, que é uma ferramenta matemática para encontrar funções a partir de suas taxas de variação. Para resolver, vamos precisar integrar o lado direito da equação em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a integração:
Agora, para encontrar , precisamos integrar ambos os lados:

Passo 3

Vamos usar a substituição para resolver essa integral. A substituição é uma técnica que simplifica a integral substituindo partes dela por uma nova variável. Vamos escolher:
Então, derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral:

Passo 5

Integrando em relação a :
onde é a constante de integração, que aparece sempre que fazemos uma antiderivada.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
20) lim (1-1k^2)^k.
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
16) lim sin kk.
Calcule os seguintes limites:
a) lim x 0 xraiz4-x-2
Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequências.
25) Prove que se as subsequência par (a2 k) e a subsequência ímpar (a2 k+1) convergem para L, então, a sequência (ak) é tal que lim ak=L. Dica: parta da definição de limites de uma subsequência e use a outra para para mostrar que a definição também se aplica a à sequência.