Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequências.
25) Prove que se as subsequência par (a2 k) e a subsequência ímpar (a2 k+1) convergem para L, então, a sequência (ak) é tal que lim ak=L. Dica: parta da definição de limites de uma subsequência e use a outra para para mostrar que a definição também se aplica a à sequência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se as subsequências dos termos pares e ímpares de uma sequência convergem para o mesmo limite , então a sequência inteira também converge para . Para resolver isso, vamos usar a definição de limite de sequências e trabalhar passo a passo para mostrar que a sequência principal também se comporta da mesma maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que uma subsequência converge para . Segundo a definição de limite, dizemos que se, para todo , existe um número tal que para todo , . O mesmo vale para a subsequência ímpar: , ou seja, existe um tal que para todo , .

Passo 3

Agora, queremos provar que a sequência inteira também converge para . Para isso, precisamos mostrar que, para todo , existe um número tal que para todo , .

Passo 4

Vamos escolher . Assim, para qualquer , temos dois casos:
  1. Se for par, digamos , então , e assim .
  2. Se for ímpar, digamos , então , e assim .

Passo 5

Portanto, para todo , independente de ser par ou ímpar, temos . Isso satisfaz a definição de limite para a sequência inteira .

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, a sequência converge para .

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a) lim x 0 xraiz4-x-2
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(a) d y/d x = x (x^2 + 3)^4
Calcule, usando a definição, a derivada primeira das seguintes funções: f(x) = x + sen(2x)
Se k for uma constante, lim x p f(x)=L e lim x p g(x)=L1, então
lim x p[f(x)+g(x)]=L+L1=lim x p f(x)+lim x p g(x).