Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequências.
25) Prove que se as subsequência par
e a subsequência ímpar
convergem para
, então, a sequência
é tal que
. Dica: parta da definição de limites de uma subsequência e use a outra para para mostrar que a definição também se aplica a à sequência.
25) Prove que se as subsequência par
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que se as subsequências dos termos pares
e ímpares
de uma sequência
convergem para o mesmo limite
, então a sequência inteira
também converge para
. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite de sequências e trabalhar passo a passo para mostrar que a sequência principal também se comporta da mesma maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que uma subsequência converge para
. Segundo a definição de limite, dizemos que
se, para todo
, existe um número
tal que para todo
,
. O mesmo vale para a subsequência ímpar:
, ou seja, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 3
Agora, queremos provar que a sequência inteira
também converge para
. Para isso, precisamos mostrar que, para todo
, existe um número
tal que para todo
,
.
Passo 4
Vamos escolher
. Assim, para qualquer
, temos dois casos:
- Se
for par, digamos , então , e assim . - Se
for ímpar, digamos , então , e assim .
Passo 5
Portanto, para todo
, independente de ser par ou ímpar, temos
. Isso satisfaz a definição de limite para a sequência inteira
.
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja, a sequência
converge para
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
a)
a)
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Calcule, usando a definição, a derivada primeira das seguintes funções:
Se
for uma constante,
, então
.