No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
20)
.
20)
Passo 1
Vamos resolver o limite da sequência
definida por
. Esse exercício está ligado ao estudo de limites de sequências na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e utilizar propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, para facilitar os cálculos, vamos tirar o logaritmo natural de
. Isso nos ajuda a transformar a expressão exponencial em algo mais simples de trabalhar:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar:
Passo 4
Agora, precisamos aproximar o valor de
para valores grandes de
. Sabemos que, para
próximo de 0,
. Aqui,
, que é bem pequeno para
grande. Aplicando essa aproximação:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 7
Como
, para encontrar o limite de
, aplicamos a função exponencial aos dois lados:
Resposta
O limite da sequência é igual a
.
Exercícios relacionados
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
16) .
16)
Resolva as seguintes desigualdades:
g)
g)
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Calcule os seguintes limites:
a)
a)