No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
20) lim (1-1k^2)^k.

Passo 1

Vamos resolver o limite da sequência (ak) definida por ak = (1 - 1k^2)^k. Esse exercício está ligado ao estudo de limites de sequências na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e utilizar propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, para facilitar os cálculos, vamos tirar o logaritmo natural de ak. Isso nos ajuda a transformar a expressão exponencial em algo mais simples de trabalhar:
ln(ak) = ln((1 - 1k^2)^k)

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln(b^c) = c cdot ln(b), podemos simplificar:
ln(ak) = k cdot ln(1 - 1k^2)

Passo 4

Agora, precisamos aproximar o valor de ln(1 - 1k^2) para valores grandes de k. Sabemos que, para x próximo de 0, ln(1 - x) approx -x - x^22. Aqui, x = 1k^2, que é bem pequeno para k grande. Aplicando essa aproximação:
ln(1 - 1k^2) approx -1k^2 - 12k^4

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão de ln(ak):
ln(ak) approx k cdot (-1k^2 - 12k^4) = -1k - 12k^3

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de ln(ak) quando k tende ao infinito:
limk to infty ln(ak) = limk to infty (-1k - 12k^3) = 0

Passo 7

Como limk to infty ln(ak) = 0, para encontrar o limite de ak, aplicamos a função exponencial aos dois lados:
limk to infty ak = e^0 = 1

Resposta

O limite da sequência é igual a 1.

Exercícios relacionados

No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
16) lim sin kk.
Resolva as seguintes desigualdades:
g) arctg x > arccotg x
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a) d y/d x = x (x^2 + 3)^4
Calcule os seguintes limites:
a) lim x 0 xraiz4-x-2