Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos um tanque que inicialmente contém 100 litros de uma mistura de água e sal, com 10 gramas de sal. Uma solução salina está entrando no tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, contendo 1 grama de sal por litro. Além disso, a mistura bem espalhada está saindo do tanque a uma taxa de 2 litros por minuto. Queremos saber qual será a concentração de sal quando o tanque estiver enchendo até sua capacidade máxima de 200 litros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com o volume no tanque. A taxa de entrada é de 3 litros por minuto, e a taxa de saída é de 2 litros por minuto. Portanto, o volume está aumentando a uma taxa líquida de:
Passo 3
Como o tanque está enchendo até 200 litros, vamos considerar o momento em que o volume está se aproximando desse valor. Nesse ponto, o volume de entrada e o de saída se equilibram, ou seja, a quantidade de sal que entra é igual à quantidade que sai.
Passo 4
A quantidade de sal entrando por minuto é a taxa de entrada multiplicada pela concentração da solu��ão que entra:
Passo 5
A quantidade de sal saindo por minuto depende da concentração da mistura no tanque naquele momento. Se chamarmos a concentração de
(em g/l), então a taxa de saída de sal é:
Passo 6
No equilíbrio, a quantidade de sal que entra é igual à que sai:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A concentração de sal quando o tanque está enchendo se aproxima de 1,5 gramas por litro.
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Resolva as equações diferenciais.
.
Encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
.
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} z e{-y{2}} d x d y d z
Calcule os seguintes limites: