Calcule os seguintes limites: lim z i z(z^2+1)z-i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Vamos utilizar conceitos de limite e álgebra para simplificar e encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece substituindo diretamente z(z^2 + 1) = i(i^2 + 1) = i(-1 + 1) = i times 0 = 0 na expressão.
Substituindo no numerador:
z - i = i - i = 0
E no denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para resolver uma forma indeterminada z^2 + 1 = (z - i)(z + i) , podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador. Vamos fatorar o numerador .
Sabemos que:
pois

Passo 4

Então, substituindo de volta na expressão original:
z(z^2 + 1)z - i = z(z - i)(z + i)z - i
Agora, podemos cancelar o fator z cancel(z - i) (z + i)cancelz - i = z(z + i) que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo z(z + i) = i(i + i) = i times 2i = 2i^2 :
2i^2 = 2 times (-1) = -2
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é .

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