Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite
. Esse tipo de limite aparece na matéria de Cálculo, especificamente quando estudamos limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando o ângulo
está bem pequenininho, se aproximando de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma função que representa a razão entre o comprimento do lado oposto e a hipotenusa em um triângulo retângulo. Quando
está próximo de zero,
também fica bem perto de zero, mas a taxa de variação de
em relação a
é importante para entender o limite.
Passo 3
Agora, vamos usar uma das propriedades fundamentais dos limites trigonométricos. Sabemos que:
Esse resultado é muito útil e é um dos primeiros limites que aprendemos em Cálculo. Ele nos diz que, conforme
se aproxima de zero, a razão entre
e
se aproxima de 1.
Passo 4
Para entender melhor, podemos pensar no gráfico de
perto de zero. Ele se comporta quase como uma linha reta, com inclinação 1. Isso significa que
cresce quase exatamente na mesma taxa que
quando
é bem pequeno, o que justifica o limite ser igual a 1.
Resposta
Então, o limite é: