Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite de
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a aplicação da regra de L’Hospital. Podemos expressar
como
, então o limite fica:
Agora, temos uma forma do tipo
, que é adequada para aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital nos diz que se o limite é do tipo
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Vamos derivar uma vez:
Derivada do numerador (
):
Derivada do denominador (
):
Então, o limite passa a ser:
Passo 4
Ainda temos uma forma
, então aplicamos a regra de L’Hospital novamente:
Derivada do numerador (
):
Derivada do denominador (
):
Agora, o limite fica:
Passo 5
Agora, ao calcular o limite, vemos que
cresce muito mais rápido que o numerador constante 2. Portanto, o limite é: