Calcule os seguintes limites: limt to +infty t^2 e^-t

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a aplicação da regra de L’Hospital. Podemos expressar limt to +infty t^2e^t como , então o limite fica:
Agora, temos uma forma do tipo , que é adequada para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital nos diz que se o limite é do tipo limt to +infty 2te^t , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Vamos derivar uma vez:
Derivada do numerador ( ):
Derivada do denominador ( ):
Então, o limite passa a ser:

Passo 4

Ainda temos uma forma limt to +infty 2e^t , então aplicamos a regra de L’Hospital novamente:
Derivada do numerador ( ):
Derivada do denominador ( ):
Agora, o limite fica:

Passo 5

Agora, ao calcular o limite, vemos que 0 cresce muito mais rápido que o numerador constante 2. Portanto, o limite é:

Resposta

limt to +infty t^2 e^-t = 0

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