Calcule os seguintes limites: limt to 0 (1 - cos(t))

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de . A gente vai usar conceitos de limites e funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de t, , se aproxima de 1 quando t se aproxima de 0. Mas pra ter certeza do que acontece com , vamos usar uma aproximação chamada série de Taylor, que nos ajuda a expressar funções trigonométricas de forma mais simples perto de um ponto específico, nesse caso, t = 0.

Passo 3

A série de Taylor para cos(t) approx 1 - t^22 + t^424 - cdots em torno de 0 é:
1 - cos(t) approx 1 - (1 - t^22 + t^424 - cdots )
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão 1 - cos(t) approx t^22 - t^424 + cdots :
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, observamos que conforme t se aproxima de 0, os termos com t^2, t^4, etc., também se aproximam de 0. O termo mais significativo aqui é , que também tende a 0 quando t tende a 0.

Resposta

Portanto, o limite é 0.

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