Determine o ângulo entre os vetores u=(2,-1,-1) e v=(-1,-1,2). Resposta: 120 graus.

Passo 1

Vamos resolver um problema de Geometria Analítica onde precisamos encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço. Para isso, vamos utilizar o produto escalar e as módulos dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u = (2, -1, -1) e v = (-1, -1, 2). A fórmula do produto escalar é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Aplicando os valores:
u cdot v = (2)(-1) + (-1)(-1) + (-1)(2) = -2 + 1 - 2 = -3

Passo 3

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores u e v. A fórmula para o módulo de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Calculando para u:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
E para v:
|v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 4

Com o produto escalar e os módulos calculados, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores:
cos(theta) = -3raiz6 cdot raiz6 = -36 = -0,5

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, precisamos calcular o arco cosseno de -0,5:
theta = arccos(-0,5) = 120^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de 120 graus.

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