Considere g(x) = f(x) * raiz(x) , com f(x) uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g(x) é duas vezes diferenciável e satisfaz:
f) g''(x) = f''(x) * raiz(x) + f'(x) / (2 * raiz(x)) + f(x) / (4 * x * raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos a função , onde é uma função que pode ser derivada duas vezes (ou seja, é duas vezes diferenciável). A pergunta quer que a gente mostre que a segunda derivada de é igual a:
Para resolver isso, vamos usar a regra do produto de derivadas e calcular passo a passo as primeiras e segundas derivadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é o produto de e . Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto, que diz:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Agora, aplicando a Regra do Produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , ou seja, . Para isso, precisamos derivar que já encontramos:
Vamos derivar cada termo separadamente.
  1. Derivada de :
Aqui, novamente usamos a Regra do Produto, com e .
Aplicando a Regra do Produto:
  1. Derivada de :
Podemos reescrever esse termo como . Vamos derivar usando a Regra do Produto novamente, com e .
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 4

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter a segunda derivada total de :
Simplificando os termos:
Juntando os termos semelhantes:

Resposta

Finalmente, a segunda derivada de é:

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