Considere
uma função duas vezes diferenciável. Então, a função
é duas vezes diferenciável e satisfaz:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos a função
, onde
é uma função que pode ser derivada duas vezes (ou seja, é duas vezes diferenciável). A pergunta quer que a gente mostre que a segunda derivada de
é igual a:
Para resolver isso, vamos usar a regra do produto de derivadas e calcular passo a passo as primeiras e segundas derivadas de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função
é o produto de
e
. Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto, que diz:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, precisamos derivar
que já encontramos:
Vamos derivar cada termo separadamente.
- Derivada de
:
Aqui, novamente usamos a Regra do Produto, com
e
.
Aplicando a Regra do Produto:
- Derivada de
:
Podemos reescrever esse termo como
. Vamos derivar usando a Regra do Produto novamente, com
e
.
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 4
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter a segunda derivada total de
:
Simplificando os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Resposta
Finalmente, a segunda derivada de
é: