Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de lg) $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 u)}{\operatorname{tg}^{2}(u)}
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de limites e funções trigonométricas. Pra resolver isso, vamos usar umas aproximações de funções trigonométricas para valores próximos de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
é bem pequenininho, a função
pode ser aproximada por
. Essa é uma aproximação útil para facilitar o cálculo. Então, para
, temos:
Passo 3
Substituindo essa aproximação na expressão do numerador:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o denominador, que é
. Sabemos que para valores pequenos de
,
pode ser aproximado por
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos as aproximações no limite:
Passo 6
Simplificando a fração:
Resposta
Então, o limite é
.