Obtenha um ponto P pertencente ao gráfico de f(x) = x^3 - 3 x^2 + 20 para o qual a reta tangente passe pelo ponto Q = (1, 2). (note que esse ponto não pertence ao gráfico)

Passo 1

Beleza, então temos o seguinte problema: precisamos encontrar um ponto que está no gráfico da função de tal forma que a reta tangente nesse ponto passe pelo ponto . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de uma função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 3

Agora, consideremos que a reta tangente no ponto tem a equação:
Queremos que essa reta passe pelo ponto . Então, substituímos e na equação da reta tangente:

Passo 4

Substituindo e na equação:
Simplificando:
Levantando todos os termos para um lado:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação cúbica . Testando valores inteiros, vemos que satisfaz a equação:
Então, uma solução é . Portanto, o ponto é:

Resposta

O ponto é .

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