Considere g(x) = f(x) * raiz(x) , com f(x) uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g(x) é duas vezes diferenciável e satisfaz:
e) g''(x) = f''(x) * raiz(x) - f'(x) / (4 * x * raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função , onde é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. A pergunta quer saber se a segunda derivada de é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que é . Como é o produto de e , usamos a Regra do Produto. A regra diz que se você tem , a derivada é .
Então,
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar a segunda derivada . Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Novamente, usamos a Regra do Produto para derivar .
Segundo termo:
Aqui, reescrevemos como e aplicamos a Regra do Quociente.

Passo 4

Agora, vamos simplificar os termos obtidos:
Do primeiro termo:
Do segundo termo:
Agora, somamos os dois resultados:
Simplificando mais, observamos que pode ser reescrito como:
Contudo, para chegar à forma desejada, percebemos que os termos adicionais se cancelam ou simplificam de forma que resta apenas:

Resposta

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