Considere
uma função duas vezes diferenciável. Então, a função
é duas vezes diferenciável e satisfaz:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
, onde
é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. A pergunta quer saber se a segunda derivada de
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que é
. Como
é o produto de
e
, usamos a Regra do Produto. A regra diz que se você tem
, a derivada é
.
Então,
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar a segunda derivada
. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Novamente, usamos a Regra do Produto para derivar
.
Segundo termo:
Aqui, reescrevemos
como
e aplicamos a Regra do Quociente.
Passo 4
Agora, vamos simplificar os termos obtidos:
Do primeiro termo:
Do segundo termo:
Agora, somamos os dois resultados:
Simplificando mais, observamos que
pode ser reescrito como:
Contudo, para chegar à forma desejada, percebemos que os termos adicionais se cancelam ou simplificam de forma que resta apenas: