Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
Então, o que temos aqui é calcular o limite de
quando o ponto
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e propriedades da função arcotangente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a razão
quando
. Como
está se aproximando de 2 e
também está se aproximando de 2, a razão tende a:
Passo 3
Agora, sabemos que a função arcotangente é contínua em todos os seus pontos de definição. Isso quer dizer que o limite da arcotangente de uma função é igual à arcotangente do limite dessa função. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Por fim, vamos calcular
. Sabemos que a tangente de
é igual a 1. Portanto:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
;
Mostre que
satisfaz a equação de calor para constantes
e
.
Estude a diferenciabilidade da função
no ponto
indicado:
em
;
Estude a diferenciabilidade da função
no ponto
indicado:
;