Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
em ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a função é diferenciável no ponto . Isso significa que queremos saber se a função tem uma boa “suavidade” nesse ponto, ou seja, se ela pode ser aproximada por um plano linear perto de . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e e verificar se elas são contínuas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é basicamente ver como muda quando só muda, mantendo constante. A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso mostra como muda quando só muda, mantendo constante. A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas no ponto . Observando as expressões das derivadas parciais:
Ambas são funções exponenciais contínuas para todos os e , incluindo no ponto . Portanto, as derivadas parciais são contínuas nesse ponto.

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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Calcule os seguintes limites: ;
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Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
;
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.