Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado: ;
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. Precisamos estudar se a função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável no ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso acontece quando as derivadas parciais de em relação a e existem e são contínuas em .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Onde é a função sinal, que retorna -1, 0 ou 1 dependendo do sinal do argumento.
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Assim, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero no ponto .
Passo 5
Contudo, para a função ser diferenciável, as derivadas parciais devem ser contínuas ao redor do ponto . Vamos verificar a continuidade da derivada parcial em relação a .
Observe que:
Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, , e pelo lado negativo, . Portanto, há uma descontinuidade na derivada parcial em relação a no ponto .
Passo 6
Devido a essa descontinuidade nas derivadas parciais, a função não é diferenciável no ponto .