Estude a diferenciabilidade da função no ponto indicado:
;

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Precisamos estudar se a função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável no ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso acontece quando as derivadas parciais de em relação a e existem e são contínuas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Onde é a função sinal, que retorna -1, 0 ou 1 dependendo do sinal do argumento.
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Assim, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero no ponto .

Passo 5

Contudo, para a função ser diferenciável, as derivadas parciais devem ser contínuas ao redor do ponto . Vamos verificar a continuidade da derivada parcial em relação a .
Observe que:
Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, , e pelo lado negativo, . Portanto, há uma descontinuidade na derivada parcial em relação a no ponto .

Passo 6

Devido a essa descontinuidade nas derivadas parciais, a função não é diferenciável no ponto .

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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