Mostre que
satisfaz a equação de calor para constantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de calor, onde
e
são constantes. A equação de calor é um tipo de equação diferencial que descreve como a temperatura varia no tempo e no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois verificar se elas se encaixam na equação de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de calor. A forma clássica da equação de calor em uma dimensão é:
Aqui,
é a difusividade térmica, mas para simplificar, podemos considerar
. Então, nossa equação de calor fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de
em relação ao espaço
:
Como
não depende de
, essa derivada é zero:
E a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a equação de calor:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
, a expressão dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
Isso implica que:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Para essa igualdade ser válida para todo
, a única solução possível é
. Nesse caso, a função
se torna zero, satisfazendo trivialmente a equação de calor.
Resposta
A função
satisfaz a equação de calor apenas quando
, ou seja,
.
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; limitado por cima pelo cone
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Dê o domínio das seguintes funções reais:
f)
f)
Calcule os seguintes limites:
;
Calcule os seguintes limites:
;