Mostre que satisfaz a equação de calor para constantes e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função satisfaz a equação de calor, onde e são constantes. A equação de calor é um tipo de equação diferencial que descreve como a temperatura varia no tempo e no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois verificar se elas se encaixam na equação de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de calor. A forma clássica da equação de calor em uma dimensão é:
Aqui, é a difusividade térmica, mas para simplificar, podemos considerar . Então, nossa equação de calor fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função .
Primeiro, a derivada parcial de em relação ao tempo :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação ao espaço :
Como não depende de , essa derivada é zero:
E a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a equação de calor:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , a expressão dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
Isso implica que:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Para essa igualdade ser válida para todo , a única solução possível é . Nesse caso, a função se torna zero, satisfazendo trivialmente a equação de calor.

Resposta

A função satisfaz a equação de calor apenas quando , ou seja, .

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f)
Calcule os seguintes limites: ;
Calcule os seguintes limites: ;